Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D為BB₁的中點(diǎn)，E為AB₁上的一點(diǎn)，AE=3EB₁．
(Ⅰ)證明：DE為異面直線AB₁與CD的公垂線；
(Ⅱ)設(shè)異面直線AB₁與CD的夾角為45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小．

Answer 1

(Ⅰ)證明：連結(jié)A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F， 因?yàn)槊鍭A1B1B為正方形， 故A1B⊥AB1，且AF=FB1， 又AE=3EB1，所以FE=EB1， 又D為BB1的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB1，  作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn)， 又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B， 連結(jié)DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG， 由三垂線定理，得DE⊥CD， 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線．  (Ⅱ)解：因?yàn)镈G∥AB1，故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角， ∠CDG=45°， 設(shè)AB=2，則AB1=2，DG=，CG=，AC=， 作B1H⊥A1C1，H為垂足， 因?yàn)榈酌鍭1B1C1⊥面AA1C1C， 故 B1H⊥面AA1C1C， 又作HK⊥AC1，K為垂足，連結(jié)B1K， 由三垂線定理，得B1K⊥AC1， 因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角， ， ， ， ， 所以，二面角A1-AC1-B1的大小為arctan。