Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在x=2處取得極值為c-16．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)f′（2）=0，f（2）=c-16，即可求得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的極大值，由極大值為28，可求出c值，然后求出f（-3），f（3），及函數(shù)在區(qū)間[-3，3]上的極值，即可求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函數(shù)在點x=2處取得極值c-16
∴

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，
解得a=1，b=-12
（II）由（I）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，解得x₁=-2，x₂=2
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數(shù)；當x∈（-2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
由此可知f（x）在x₁=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x₂=2處取得極小值f（2）=c-16，
由題設條件知16+c=28得，c=12
此時f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4，最大值為28．

點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的極值、最值之間的關系，屬于導數(shù)應用問題．