Question

（本小題滿分14分）已知f (x)＝m^x(m為常數，m>0且m≠1)．設f (a₁)，f (a₂)，^…，f (a_n)，^…(n∈N)是首項為m²，公比為m的等比數列．
(1)求證：數列{a_n}是等差數列；
(2)若b_n＝a_n f (a_n)，且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m＝3時，求S_n；
(3)若c_n＝ f(a_n) lg f (a_n)，問是否存在m，使得數列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：　(1)由題意f (a_n)＝m²·m^n-1，即ma_n＝mⁿ⁺¹.
∴a_n＝n＋1，∴a_n＋1－a_n＝1，∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．
(2)由題意b_n＝a_n f (a_n)＝(n＋1)·mⁿ⁺¹，
當m＝3時，b_n＝(n＋1)·3ⁿ⁺¹，∴S_n＝2·3²＋3·3³＋4·3⁴＋^…＋(n＋1)·3ⁿ⁺¹①
①式兩端同乘以3得，3S_n＝2·3³＋3·3⁴＋4·3⁵＋^…＋n·3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²②
②－①并整理得，
2S_n＝－2·3²－3³－3⁴－3⁵－^…－3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－3²－(3²＋3³＋3⁴＋^…＋3ⁿ⁺¹)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²
＝－3²－＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－9＋ (1－3ⁿ)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝(n＋)3ⁿ⁺²－.
∴S_n＝(2n＋1)3ⁿ⁺²－.
(3)由題意c_n＝f (a_n)·lg f (a_n)＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n≥c_n＋1對一切n∈N^*成立，即(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm≥(n＋2)·mⁿ⁺²·lgm，對一切n∈N^*成立，
① 當m>1時，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤對一切n∈N^*成立，
因為＝1－的最小值為，所以m≤，與m>1不符合，即此種情況不存在.
②當0<m<1時，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥對一切n∈N^*成立，所以≤m<1.
綜上，當≤m<1時，數列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項

略