【題目】在極坐標(biāo)系中,圓C的方程為ρ=2acosθ(a≠0),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程(化為標(biāo)準(zhǔn)方程)和直線l的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且a<1,求a的值.
【答案】
(1)解:圓C的方程為ρ=2acosθ(a≠0),即ρ2=2aρcosθ,化為直角坐標(biāo)方程:x2+y2﹣2ax=0,配方為(x﹣a)2+y2=a2,圓心C(a,0),半徑r=|a|.
設(shè)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),消去參數(shù)t化為:4x﹣3y+5=0
(2)解:∵直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且a<1,∴ =|a|,化為:4a+5=±5a,解得:a= .
【解析】(1)圓C的方程為ρ=2acosθ(a≠0),即ρ2=2aρcosθ,利用ρ2=x2+y2 , x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程.設(shè)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),消去參數(shù)t化為p普通方程.(2)由直線l與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且a<1,因此直線與圓相切,可得 =|a|,解出a即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,A,B兩點(diǎn)為噴泉,圓心O為AB的中點(diǎn),其中OA=OB=a米,半徑OC=10米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞.
(1)若當(dāng)∠OBC= 時(shí),sin∠BCO= ,求此時(shí)a的值;
(2)設(shè)y=CA2+CB2 , 且CA2+CB2≤232.
(i)試將y表示為a的函數(shù),并求出a的取值范圍;
(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ,試求A,B兩處噴泉間距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥CD,BC⊥平面PAB,且E,M,N分別為PD,CD,AD的中點(diǎn), =3 .
(1)證明:PB∥平面FMN;
(2)若PA=AB,求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 =1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,焦距為2 ,直線x=﹣a與y=b交于點(diǎn)D,且|BD|=3 ,過點(diǎn)B作直線l交直線x=﹣a于點(diǎn)M,交橢圓于另一點(diǎn)P.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個(gè)人從出生到死亡,在每個(gè)生日都測量身高,并作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,這些點(diǎn)將不會落在一條直線上,但在一段時(shí)間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時(shí)可以用線性回歸來分析,下表是一位母親給兒子做的成長記錄:
年齡/周歲 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
身高/cm | 91.8 | 97.6 | 104.2 | 110.9 | 115.6 | 122.0 | 128.5 |
年齡/周歲 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
身高/cm | 134.2 | 140.8 | 147.6 | 154.2 | 160.9 | 167.5 | 173.0 |
(1)年齡(解釋變量)和身高(預(yù)報(bào)變量)之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系?
(2)如果年齡相差5歲,則身高有多大差異(3~16歲之間)?
(3)如果身高相差20 cm,其年齡相差多少(3~16歲之間)?
(4)試判斷該函數(shù)模型是否能夠較好地反映年齡與身高的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四種說法中,
①命題“存在x∈R,x2﹣x>0”的否定是“對于任意x∈R,x2﹣x<0”;
②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件;
③已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2, ),則f(4)的值等于 ;
④已知向量 =(3,﹣4), =(2,1),則向量 在向量 方向上的投影是 .
說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)z1 , z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1﹣z2|=0,則 =
B.若z1= ,則 =z2
C.若|z1|=|z2|,則z1? =z2?
D.若|z1|=|z2|,則z12=z22
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一次考試成績的樣本頻率分布直方圖(樣本容量n=200),若成績不低于60分為及格,則樣本中的及格人數(shù)是( )
A. 6 B. 36 C. 60 D. 120
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌豆腐食品是經(jīng)過A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C工序的產(chǎn)品合格率分別為,,.已知每道工序的加工都相互獨(dú)立,三道工序加工的產(chǎn)品都合格時(shí)產(chǎn)品為一等品;恰有兩次合格為二等品;其他的為廢品,不進(jìn)入市場.
(1)生產(chǎn)一袋豆腐食品,求產(chǎn)品為廢品的概率;
(2)生產(chǎn)一袋豆腐食品,設(shè)X為三道加工工序中產(chǎn)品合格的工序數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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