Question

（2011•東城區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且

AP

=3

PB

，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知

c a = 1 2 a+c=3 a2=b2+c2

⇒

a=2 b= 3 c=1

，由此能求出橢圓方程． 
（Ⅱ）若過點P（0，m）的斜率不存在，則m=±

3

2

．若過點P（0，m）的直線斜率為k，即：m≠±

3

2

時，直線AB的方程為y-m=kx．由

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）．因為AB和橢圓C交于不同兩點，所以△＞0．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)
由題意：

c a = 1 2 a+c=3 a2=b2+c2

⇒

a=2 b= 3 c=1

所求橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）若過點P（0，m）的斜率不存在，則m=±

3

2

．
若過點P（0，m）的直線斜率為k，
即：m≠±

3

2

時，
直線AB的方程為y-m=kx
由

y=kx+m 3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因為AB和橢圓C交于不同兩點，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3    ①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

AP

=3

PB

，
則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

    ②

AP

=(-x1，m-y1)，

PB

=(x2，y2-m)-x₁=3x₂ ③
將③代入②得：-3(

4km

3+4k2

)2=

4m2-12

3+4k2

整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以k2=

9-3m2

16m2-12

代入①式，
得4k2=

9-3m2

4m2-3

＞m2-3

4m2(m2-3)

4m2-3

＜0，
解得

3

4

＜m2＜3．
所以-

3

＜m＜-

3

2

或

3

2

＜m＜

3

．
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為：(-

3

，-

3

2

]∪[

3

2

，

3

)．…（14分）

點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．