Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

ex

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有且只有一個解，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當x₁≠x₂且x₁，x₂∈（-∞，2]時，若有f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞0．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0、f'（x）＜0可得函數(shù)的增、減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）_極小值=f（0）=0，f(x)極大值=f(2)=

4

e2

，易判斷f(x)=

x2

ex

的值域為[0，+∞），結(jié)合圖象可得m范圍；
（Ⅲ）不妨設(shè)x₁＜x₂，由題意則x₁＜0，0＜x₂≤2，利用作差可判斷f（x₂）＜f（-x₂），從而有f（x₁）＜f（-x₂），利用單調(diào)性可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

x(2-x)

ex

，
令

x(2-x)

ex

＞0，解得0＜x＜2，
令f′（x）＜0，即

x(2-x)

ex

＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，2），遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）_極小值=f（0）=0，f(x)極大值=f(2)=

4

e2

，
∵方程f（x）=m有且只有一個根，又f(x)=

x2

ex

的值域為[0，+∞），
∴m∈(

4

e2

，+∞)∪{0}；
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）及當x₁，x₂∈（-∞，2]時，有f（x₁）=f（x₂），不妨設(shè)x₁＜x₂，
則有x₁＜0，0＜x₂≤2，
又f(x2)-f(-x2)=

x 2 2 (1-e2x2)

ex2

＜0，即f（x₂）＜f（-x₂），
∴f（x₁）＜f（-x₂），
又∵x₁＜0，-x₂＜0，且f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴x₁＞-x₂，即x₁+x₂＞0．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查函數(shù)與方程思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．