Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）當m=5時，求f（x）＞0的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當m=5時，原不等式可化為|x+1|+|x-2|＞5，分三種情況去絕對值，對不等式加以討論，最后綜合即得到f（x）＞0的解集；
（II）關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，可得|x+1|+|x-2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）當m=5時，原不等式可化為：|x+1|+|x-2|＞5，
①，解之，得x＞3；
②，解之，得不存在符合題意的實數(shù)x；
③，解之，得x＜-2
綜上所述，當m=5時，f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）                     …（5分）
（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1
由此可得：m的取值范圍是（-∞，1）．                        …（10分）
點評：本題給出含有絕對值的函數(shù)，討論不等式f（x）＞m（m是常數(shù)）的解集的問題，著重考查了絕對值的定義與性質(zhì)和不等式恒成立問題的處理方法等知識，屬于基礎(chǔ)題．