Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f'（x），其中a是正實(shí)數(shù)．
（1）若當(dāng)1≤x≤e時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值-4，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求a的取值范圍，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由當(dāng)1≤x≤e時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值-4，求出函數(shù)f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a的范圍時(shí)行討論，得出函數(shù)在1≤x≤e最值，令其為-4，求出參數(shù)a，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）a的取值范圍，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可得出，此a的取值范圍，可設(shè)得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上的導(dǎo)數(shù)值恒為正或恒為負(fù)，由此建立不等式求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a，由

f′(x)＞0 x＞0

得0＜x＜

1

a

∴f(x)在(0，

1

a

]上單調(diào)遞增，在[

1

a

，+∞)單調(diào)遞減，（3分）
若x∈（0，+∞），則當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（x）取得最大值．
由條件1≤x≤e，所以
①當(dāng)1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1時(shí)，fmax(x)=f(

1

a

)=-4，∴a=e³＞1不可能；
②當(dāng)0＜

1

a

＜1即a＞1時(shí)，由單調(diào)性可知f_max（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1滿足條件；
③當(dāng)

1

a

＞e即0＜a＜

1

e

時(shí)，由單調(diào)性可知f_max（x）=f（e）=-4，∴a=

5

e

＞

1

e

也不可能．
綜上可知a=4，進(jìn)而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）g(x)=lnx-ax+

1

x

-a∴g′(x)=

1

x

-a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

-a（9分）
當(dāng)

a＞0 1 4 -a≤0

，即a≥

1

4

時(shí)，g'（x）≤0恒成立，且只有x=2時(shí)g'（x）=0，
所以a≥

1

4

時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)．
因?yàn)樗�求a的取值范圍是[

1

4

，+∞)．   （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第一小題利用最值建立方程求出參數(shù)，此是導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的一個(gè)重要運(yùn)用，本題運(yùn)算量大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失�。�