Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-t|（t∈R）
（1）t=2時，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若對于任意的t∈[1，2]，x∈[-1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對值解關于x的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）問題等價于a≤f（x）-x，令g（x）=f（x）-x，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當t=2時，f（x）=|x-1|+|x-2|，
若x≤1，則f（x）=3-2x，于是由f（x）＞2，解得x＜$\frac{1}{2}$，綜合得x＜$\frac{1}{2}$；
若1＜x＜2，則f（x）=1，顯然f（x）＞2不成立；
若x≥2，則f（x）=2x-3，于是由f（x）＞2，解得x＞$\frac{5}{2}$，綜合得x＞$\frac{5}{2}$
∴不等式f（x）＞2的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{5}{2}$}．  
（2）f（x）≥a+x等價于a≤f（x）-x，令g（x）=f（x）-x，
當-1≤x≤1時，g（x）=1+t-3x，顯然g（x）_min=g（1）=t-2，
當1＜x＜t時，g（x）=t-1-x，此時g（x）＞g（1）=t-2，
當t≤x≤3時，g（x）=x-t-1，g（x）_min=g（1）=t-2，
∴當x∈[1，3]時，g（x）_min=t-2，
又∵t∈[1，2]，
∴g（x）_min≤-1，即a≤-1，
綜上，a的取值范圍是a≤-1．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．