Question

在各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，S_n為前n項和，na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，若a₂=

π

2

，則sinS₄=（　�。�

• A、

  6 - 2

  4

• B、1
• C、0
• D、

  6 + 2

  4

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：把數(shù)列遞推式變形，得到

an+1

an

=

n+1

n

，結(jié)合已知分別求出a₁，a₃，a₄，進一步求得S₄，則sinS₄的值可求．

解答： 解：由na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，得：
（a_n+1+a_n）[na_n+1-（n+1）a_n]=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1+a_n＞0，
則na_n+1-（n+1）a_n=0．
即

an+1

an

=

n+1

n

．
∴

a2

a1

=2，
∵a₂=

π

2

，
∴a1=

a2

2

=

π

4

．
又

a3

a2

=

3

2

，
∴a3=

3

2

a2=

3

2

×

π

2

=

3π

4

．

a4

a3

=

4

3

，
∴a4=

4

3

a3=

4

3

×

3π

4

=π．
∴S4=a1+a2+a3+a4=

π

4

+

π

2

+

3π

4

+π=

5π

2

．
∴sinS₄=sin

5π

2

=1．
故選：B．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．