Question

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及對稱中心；
（Ⅱ）說明此函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得到；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由最值求得A，由周期求得ω，根據(jù)當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值3求得α，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得它的圖象的對稱中心．
（II）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（III）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件可知：A=3，由$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，根據(jù)f（$\frac{π}{6}$）=3sin（2×$\frac{π}{6}$+α）=3，可得α+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
根據(jù)-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，可得α=$\frac{π}{6}$，f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的對稱中心為（ $\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（II）把y=sinx先向左平移$\frac{π}{6}$個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來$\frac{1}{2}$倍，再將橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來3倍，
得到f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
（III）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）值域?yàn)閇$\frac{3}{2}$，3]．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．