Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求三棱錐A-BDF的體積；
（Ⅱ）求證：AM∥平面BDE；
（Ⅲ）求異面直線AM與DF所成的角．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)三棱錐的條件公式即可求三棱錐A-BDF的體積；
（Ⅱ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AM∥平面BDE；
（Ⅲ）根據(jù)異面直線所成角的定義即可求異面直線AM與DF所成的角．

解答： 解：（Ⅰ） 三棱錐A-BDF的體積為VA-BDF=VF-ABD=

1

3

•SABD•|AF|=

1

3

，…（4分）
（Ⅱ） 證明：連接BD，BD∩AC=O，連接EO．…..（5分）
∵E，M為中點，且ACEF為矩形，
∴EM∥OA，EM=0A，…（6分）
∴四邊形EOAM為平行四邊形，
∴AM∥EO，…（7分）
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE． …（9分）
（Ⅲ）過點M作MG∥DF，則∠AMG為異面直線DF與AM所成的角，…（10分）
∵M為中點，
∴點G為線段DE的中點，
∴MG=

1

2

DF=

3

2

，…（11分）
連接AG，過G作GH∥EC，則H為DC的中點，
∴GH=

1

2

CE=

1

2

，HA=

10

2

，則AG=

11

2

，…（13分）
在△AMG中，AG=

11

2

，MG=

3

2

，AM=

2

，
∴AG²=MG²+AM²，
∴異面直線DF與AM所成的角為

π

2

． …（14分）

點評：本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷以及異面直線所成角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．