Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為橢圓C上的不同兩點，已知向量

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

•

n

=0．已知O為坐標原點，試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，可得a=2；
（2）可判斷直線AB存在斜率，設(shè)AB方程為y=kx+p，代入橢圓方程，可得（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，將y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p代入上式并整理得，
（4+k²）x₁x₂+kp（x₁+x₂）+p²=0，代入韋達定理可得k，p的方程，根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式及三角形的面積公式可用k，p表示出S_△AOB，消掉k后可得常數(shù)；

解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，
∴b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為

y2

4

+x2=1；
（2）若直線AB的斜率不存在，則x₁=x₂，y₁=-y₂
由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，即x12+

y12

4

=0，
因為點A在橢圓上，所以x12+

y12

4

=1，與上式矛盾，
故直線AB存在斜率，
設(shè)方程為y=kx+p，代入橢圓方程，可得（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，
由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，即4x₁x₂+y₁y₂=0，
將y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p代入上式并整理得
∴（4+k²）x₁x₂+kp（x₁+x₂）+p²=0，
將x1+x2=-

2kp

k2+4

，x1x2=

p2-4

k2+4

，代入上式并整理得2p²=k²+4，
∵O到直線AB的距離為

|p|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

•

|p|

1+k2

•|AB|=

1

2

•

|p|

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

|p| 4k2+16-4p2

k2+4

=

|p| 8p2-4p2

2p2

=1，
綜上可知，△AOB的面積為定值1．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標準方程、平面向量數(shù)量積運算等知識，綜合性強，運算量大，能力要求較高．