Question

設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得a=2c，=4，解得a=2，c=1，從而b=，
故橢圓的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x₀，y₀），
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，
∴y₀²=（4-x₀²），  ①
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，
∴-2＜x₀＜2，
由P、A、M三點(diǎn)共線可以得 P（4，），
從而，
   ②
將①代入②，化簡(jiǎn)得，
∵2-x₀＞0，
∴＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。