Question

如圖，在五面體ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四邊形ABFE為平行四邊形，FA⊥平面ABCD，，求：
（Ⅰ）直線AB到平面EFCD的距離；
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（幾何法）（Ⅰ）AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離，故可過A作平面EFCD的垂線，注意到面AFD⊥面EFDC，故只需過A作FD的垂線即可．
（Ⅱ）由已知條件做出二面角F-AD-E的平面角，再求解．已知FA⊥AD，再可求證EA⊥AD，故，∠FAE為二面角F-AD-E的平面角，再解△AEF即可．
解法二：（向量法）由AB、AD、AF兩兩垂直，故可通過向量法求解．
（Ⅰ）求平面EFCD的法向量，則直線AB到平面EFCD的距離=
（Ⅱ）分別求出兩個面的法向量，再求兩個法向量的余弦，即二面角F-AD-E的平面角的余弦，再求正切即可．
解答：解：法一：
（Ⅰ）∵AB∥DC，DC?平面EFCD，
∴AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離，
過點A作AG⊥FD于G，因AB∥DC，
故CD⊥AD；又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂線定理可知，CD⊥FD，
故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，
所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離．
在Rt△FCD中，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，從而在Rt△FAD中

∴．
即直線AB到平面EFCD的距離為．
（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由，知AD⊥AB，
故AD⊥平面ABFE∴DA⊥AE，
所以，∠FAE為二面角F-AD-E的平面角，記為θ．
在Rt△AED中，，
由平行四邊形ABCD得，FE∥BA，從而
在Rt△AEF中，，
故
所以二面角F-AD-E的平面角的正切值為．

法二：
（Ⅰ）如圖以A點為坐標原點，的方向為x，y，z的正方向建立空間直角坐標系數，則A（0，0，0）
C（2，2，0）D（0，2，0）設F（0，0，z）（z＞0）可得，
由．即，
解得F（0，0，1）
∵AB∥DC，DC?面EFCD，
所以直線AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離．
設A點在平面EFCD上的射影點為G（x₁，y₁，z₁），
則因且，
而，
此即解得x₁=0①，知G點在yoz面上，
故G點在FD上.，
故有②聯立①，②解得，
∴為直線AB到面EFCD的距離．
而所以
（Ⅱ）因四邊形ABFE為平行四邊形，
則可設E（x，0，1）（x＜0），．
由得，
解得．即．故
由，
因，，
故∠FAE為二面角F-AD-E的平面角，
又∵，，，
所以
點評：本題考查空間的角和空間距離的計算，考查空間想象能力和運算能力．注意幾何法和向量法的應用．