Question

已知橢圓C：

x2

25

+

y2

16

=1，直線l過點(diǎn)（4，0）且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，設(shè)出直線l的方程，把直線與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出x₁x₂與x₁+x₂；
再求出y₁y₂，由∠AOB=90°，得x₁x₂+y₁y₂=0；由此求出直線的斜率k，得直線l的方程．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）（k為斜率），
則直線與橢圓C的方程聯(lián)立，
得

y=k(x-4) x2 25 + y2 16 =1

；
∴（16+25k²）x²-200k²x+（400k²-400）=0，
∴x₁x₂=

400k2-400

16+25k2

，x₁+x₂=

200k2

16+25k2

；
∴y₁y₂=k（x₁-4）•k（x₂-4）=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=-

144k2

16+25k2

，
又∵∠AOB=90°，∴

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0；
∴

400k2-400

16+25k2

-

144k2

16+25k2

=0，
解得k=±

5

4

；
∴直線l的方程為y=

5

4

（x-4），或y=-

5

4

（x-4）；
即5x-4y-20=0，或5x+4y-20=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)設(shè)出直線的方程，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線的斜率，是中檔題．