Question

【題目】如圖，點M在橢圓1（0＜b）上，且位于第一象限，F1，F2為橢圓的兩個焦點，過F1，F2，M的圓與y軸交于點P，Q（P在Q的上方），|OP||OQ|＝1．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）直線PM與直線x＝2交于點N，試問，在x軸上是否存在定點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標與該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在定點T（1，0），使得為定值0．

【解析】

（I）設(shè)圓心．則圓的方程為：,令，得：，即可得出，進而得出．
（II）設(shè)．將代入圓與橢圓的方程，可得坐標，可得直線的方程，設(shè)，可得，即可得出．

（I）設(shè)圓心（0，t）．則圓的方程為：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．

令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0（*），

∴|OP||OQ|＝|yPyQ|＝c2＝1．

∴b＝a2﹣c2＝1．

（II）設(shè)M（x0，y0）．

將M（x0，y0）代入圓與橢圓的方程，可得：
2ty0﹣1＝0，22，消去x0，

得t，代入（*）得：y21＝0，

即，所以

過F1，F2，M的圓與y軸交于點P，Q（P在Q的上方）.

所以yP，.

則 .

則直線的方程為：y，
由直線PM與的交點為.

所以在直線PM的方程中，令 得，．

得

設(shè)T（d，0），（x0﹣d，y0）（2﹣d，）
＝（x0﹣d）（2﹣d）+1﹣x0＝（1﹣d）x0﹣d（2﹣d）+1．

要使得為定值，即與M的坐標無關(guān).

當d＝1時，0為定值．

存在定點T（1，0），使得為定值0．