Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列，
∴===2，
∴1+5d=2（1+2d），
解得d=1，
∴a_n=n．…．（4分）
（Ⅱ）∵a_n=n，∴=n•2ⁿ
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…．（13分）
（Ⅲ）∵a_n=n，
∴
=
=
=
=，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和
T_n=（）+（）+…+（）=．…（13分）
分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列，推導(dǎo)出1+5d=2（1+2d），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，∴=n•2ⁿ，知S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅲ）由a_n=n，知=，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．