Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若bn=

2an

(2an)2+3•2an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若cn=

2an+1

2an-1

，求證：

n

i=2

ci＜n+

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列，可求數(shù)列的公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用累加法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮、累加，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
∵a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列
∴

a12

a6

=

a6

a3

=

a12-a6

a6-a3

=

6d

3d

=2，
∴1+5d=2（1+2d）
∴d=1，∴a_n=n．…．（3分）
（Ⅱ）解：bn=

2n

(2n)2+3×2n+2

=

2n

(2n+1)(2n+2)

=

2n-1

(2n+1)(2n-1+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

．
則Sn=(

1

20+1

-

1

21+1

)+(

1

21+1

-

1

22+1

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

2n+1

．…（7分）
（Ⅲ）證明：cn=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

，
而

2

2n-1

=

2n

(2n-1)2n-1

＜

2n

(2n-1)(2n-1-1)

=2(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)．
所以

n

i=2

ci＜

2

3

+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)+…+(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)]+(n-1)＜

2

3

+2(

1

3

-

1

2n-1

)+n-1＜n+

1

3

．…．（13分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．