Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)且時，求證：函數(shù)f (x)存在唯一零點的充要條件是；

（3）設(shè)，且，求證：<．

 

Answer 1

【答案】

（1）是 ．（2）在時，在上有唯一解的充要條件是．

（3）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，和零點的問題，及不等式的證明綜合運用。

（1）因為函數(shù)．

，當(dāng)時，若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，得到的取值范圍；

（2）當(dāng)且時，運用導(dǎo)數(shù)的思想判定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)f (x)存在唯一零點的充要條件是；

（3）因為，且，要證：<，采用分析法的思想來證明該不等式。

（1）當(dāng)b=1時，.

因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所有在上恒成立，

即在上恒成立，

當(dāng)時，由，得．

設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

即時，有最小值2，所以，解得．

所有a的取值范圍是 ．                    …………………………4分

（2）．

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．

綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為．                                       

①充分性：時，在處有極小值也是最小值，

即．在上有唯一的一個零點．

②必要性：f(x)=0在上有唯一解，且， f(a)=0，即．

令， ．

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減．，只有唯一解．

在上有唯一解時必有．                          

綜上，在時，在上有唯一解的充要條件是．…………10分

（3）不妨設(shè)>n>0，則>1，要證<，

只需要<，即證>，只需證>0，

設(shè)，由（1）知，在上是單調(diào)增函數(shù)，又>1，有>，即>0成立，所以<．  ………16分