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已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數m，n，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由．
（1）∵f（x）是二次函數，設f（x）=ax2+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax2+bx
又∵f（-x+5）=f（x-3）
∴函數f（x）的對稱軸為x=1
∴-
b
2a
=1
又∵方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0有等根
∴（b-1）2=0
∴b=1，a=-
1
2

∴f(x)=-
1
2
x2+x
（2）假設存在實數m，n，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]
∵f(x)=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
≤
1
2

∴3n≤
1
2

∴n≤
1
6

又函數f（x）的對稱軸為x=1，且開口向下
∴f（x）在[m，n]上單調遞增
∴
f(m)=3m
f(n)=3n
，即
-
1
2
m2+m=3m
-
1
2
n2+n=3n

又m＜n
∴m=-4，n=0
∴存在實數m=-4，n=0滿足題意
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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