Question

數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)，則a_n=

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目由已知a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)，可以聯(lián)想到用錯(cuò)位相加的方法求解，分別列出每一個(gè)相鄰兩項(xiàng)的差，然后把它們相加即可得到a_n，又根據(jù)公式

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．可直接得到答案．

解答：解：因?yàn)?span id="lrjfbrb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

(n≥2)
故有：an-an-1=

1

n2-1

      an-1-an-2=

1

(n-1)2-1

      an-2-an-3=

1

(n-2)2-1

…
      a2-a1=

1

3

      a1=

1

2

把這n個(gè)等式相加即可得到a_n=

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．
故答案為

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，其中涉及到錯(cuò)位相加法和公式

1

n2-1

+

1

(n-1)2-1

+

1

(n-2)2-1

+…+

1

2

=

5

4

-

1

2n-1

-

1

2n+2

．的應(yīng)用，有一定的技巧性，需要同學(xué)們理解記憶．