【題目】在如圖所示的四棱錐S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E為線段BS上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)證明:DE和SC不可能垂直;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為線段BS的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí),求二面角S﹣CD﹣E的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵SA⊥底面ABCD,∠DAB=90°,
∴AB、AD、AS兩兩垂直.故以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
則S(0,0,a),C(a,a,0),D(0,3a,0)(a>0),
∵SA=AB=a且SA⊥AB,
∴設(shè)E(x,0,a﹣x)其中0≤x≤a,
∴ , ,
假設(shè)DE和SC垂直,則 ,
即ax﹣3a2﹣a2+ax=2ax﹣4a2=0,解得x=2a,
這與0≤x≤a矛盾,假設(shè)不成立,所以DE和SC不可能垂直
(2)解:∵E為線段BS的三等分點(diǎn)(靠近B),∴ .
設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量是 ,
∵ , ,
∴ ,即 ,即 ,
取 ,
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量是 ,
∵ , ,
∴ ,即 ,即 ,
取 ,
設(shè)二面角S﹣CD﹣E的平面角大小為θ,由圖可知θ為銳角,
∴ ,
即二面角S﹣CD﹣E的余弦值為
【解析】由題可知,可以直接建立空間直角坐標(biāo)線證明位置關(guān)系和計(jì)算角.(1)只要向量 恒成立,即可說(shuō)明DE和SC不可能垂直;也可用反證法:假設(shè)DE與SC垂直,即 ,找出矛盾.(2)求出平面SCD和平面CDE的法向量,用向量角的余弦值來(lái)反應(yīng)二面角的大。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2=2,S5=15,數(shù)列{bn},b1=1,對(duì)任意n∈N+滿足bn+1=2bn+1.
(1)數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn= ,設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn , 證明:Tn<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐P ABC中,PA⊥平面ABC,Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知,分別為橢圓C:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求的最小值;
(2)已知直線l:與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)且平行于直線l的直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q,問(wèn):四邊形PABQ能否成為平行四邊形?若能,請(qǐng)求出直線l的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù),r>0).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為 ρsin(θ+ )+1=0.
(1)求圓C的圓心的極坐標(biāo);
(2)當(dāng)圓C與直線l有公共點(diǎn)時(shí),求r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= cos(2x+ )+sin2x
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x∈R,有g(shù)(x+ )=g(x),且當(dāng)x∈[0, ]時(shí),g(x)= ﹣f(x),求g(x)在區(qū)間[﹣π,0]上的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)U=R,集合A={x∈R|},B={x∈R|0<x<2},則(UA)∩B=( 。
A.(1,2]
B.[1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)滿足條件:①當(dāng)x∈R時(shí),f(x)的最大值為0,且f(x﹣1)=f(3﹣x)成立;②二次函數(shù)f(x)的圖象與直線y=﹣2交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=4
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求最小的實(shí)數(shù)n(n<﹣1),使得存在實(shí)數(shù)t,只要當(dāng)x∈[n,﹣1]時(shí),就有f(x+t)≥2x成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A﹣{1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三個(gè)元素,分別作為一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù),十位數(shù)和百位數(shù),記這個(gè)三位數(shù)為a,現(xiàn)將組成a的三個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I(a),按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)(例如a=219,則I(a)=129,D(a)=921),閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,任意輸入一個(gè)a,則輸出b的值為( 。
A.792
B.693
C.594
D.495
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