Question

函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，+∞），且具有以下性質(zhì)：①f（-x）-f（x）=0；②f（x+2）•f（x）=1；③y=f（x）在[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，則對于下述命題：
（1）y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱
（2）y=f（x）為周期函數(shù)且最小正周期是4
（3）y=f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)
正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：由①得f（x）為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱故（1）錯；由②求出函數(shù)的最小正周期為4，故（2）對；再結(jié)合③判斷出（3）對．
解答：解：由題意知f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱．
由②得：f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），則f（x）為周期函數(shù)且T=4．
∵y=f（x）在[0，2]遞增，∴f（x）在[-2，0]遞減，
∵f（x）為周期函數(shù)且T=4，∴f（x）在[2，4]遞減，
由此可知（2）（3）正確，（1）不正確．
故選C．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性的綜合運用，考查了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的運用能力和對式子的變形能力．