Question

【題目】數(shù)列滿足： ，且 ，其前n項和.

（1）求證：為等比數(shù)列；

（2）記為數(shù)列的前n項和.

（i）當(dāng)時，求；

（ii）當(dāng)時，是否存在正整數(shù)，使得對于任意正整數(shù)，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（i），（ii）

【解析】

（1）利用當(dāng)時，，進(jìn)行運算，最后能證明出為等比數(shù)列；

（2）（i）利用錯位相減法，可以求出；

（ii）根據(jù)的奇偶性進(jìn)行分類，利用差比判斷數(shù)列的單調(diào)性，最后可以求出的值.

（1）當(dāng)時，， 整理得，

所以是公比為a的等比數(shù)列，又所以

（2）因為

（i）當(dāng)

兩式相減，整理得 .

（ii）因為， ∴當(dāng)為偶數(shù)時，；

當(dāng)為奇數(shù)時，，∴如果存在滿足條件的正整數(shù)，則一定是偶數(shù).∵.

∴當(dāng)時， ，∴ 又。

∴當(dāng)時，即，當(dāng)時，

即 ，即存在正整數(shù)，使得對于任意正整數(shù)都有.