如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是BC的中點．
（1）求證：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）連接A1C，交AC1于點E，連接DE，則DE∥A1B，由此能證明A1B∥平面ADC1．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系A-xyz．利用向量法能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．
解答： （Ⅰ）證明：連接A1C，交AC1于點E，
則點E是A1C及AC1的中點．
連接DE，則DE∥A1B．
因為DE?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
C1（0，1，2）D（
1
2
，
1
2
，0），
AD
=（
1
2
，
1
2
，0），
AC1
=（0，1，2）．…（6分）
設平面ADC1的法向量
m
=（x，y，z），
則
1
2
x+
1
2
y=0
y+2z=0
，不妨取
m
=（2，-2，1）．…（9分）
平面ABA1的一個法向量
n
=
AC
=（0，1，0）．…（10分）
|cos＜
m
，
n
＞|=|
-2
3
|=
2
3
，
設平面ADC1與ABA1所成二面角的平面角為θ，
sinθ=
1-(
2
3
)2
=
5
3
．
∴平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值是
5
3
．…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin（2x+
π
3
）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（C）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
．
（1）求f（
π
8
）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，求證：
1
x
+
4
y
+
9
z
≥36．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）log327+lg
1
10000
+ln(e
e
)+log2(log216)+8
2
3
-(
16
81
)- 
1
4
．
（2）已知f(α)=
sin(α-3π)cos(2π-α)sin(α+
π
2
)
cos(-π-α)sin(π-α)
，化簡f（α）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=loga（2x+1）在區(qū)間（-
1
2
，0）上滿足f（x）＞0．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）解不等式f（x）＞1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

討論函數(shù)f（x）=
1
x-a
的單調(diào)性并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2（r1＞r2），圓O1的弦AB交圓O2于點C（O1不在AB上），求證：AB：AC為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）-2f（
1
x
）=3x+2，求f（x）的值．

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