Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，且AC=BC=CC₁，O為AB₁中點．
（1）求證：CO⊥平面ABC₁；
（2）求直線BC與平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證CO⊥平面ABC₁，只需證CO垂直于該面中的兩條相交直線即可，通過取AB的中點M，連結(jié)CM，OM，由AB垂直于面COM得到CO垂直于AB，證明BC垂直于面A₁ACC₁得到BC垂直于AC₁，再由AC₁⊥A₁C得到AC₁⊥平面A₁BC，從而有AC₁⊥CO，這樣得到了CO垂直于平面ABC₁內(nèi)的兩條相交直線；
（2）由（1）知CO⊥平面ABC₁，設(shè)CO與面ABC₁的交點為N，連結(jié)BN，則∠CBN為BC與平面ABC₁所成的角，然后通過求解直角三角形即可得到結(jié)論．
解答：（1）證明：如圖，
取AB中點M，連結(jié)CM、OM，
∵AC=BC，∴CM⊥AB，
又∵OM∥BB₁，∴OM⊥AB，
OM∩CM=M，OM，CM?平面OCM，
∴AB⊥平面OCM，∴AB⊥CO，
連結(jié)A₁C，∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，且AC₁?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
又∵A₁C⊥AC₁，且A₁C∩BC=C，A₁C，BC?平面A₁BC，
∴AC₁⊥平面A₁BC，CO?平面A₁BC，∴CO⊥AC₁，
AB∩AC₁=A，又∵AB，AC₁?平面ABC₁，
∴CO⊥平面ABC₁；
（2）解：連結(jié)MC₁交CO于N，連結(jié)BN，
∵CO⊥面ABC₁，∴∠CBN為BC與平面ABC₁所成的角，
令AC=BC=CC₁=a，
在Rt△C₁CM中，C₁C=a，CM=a，
∴MC₁=a，
∵CN⊥MC₁，∴CN•MC₁=CM•CC₁，∴CN==a，
∵CB=a，∴Rt△CBN中，sin∠CBN===，
∴直線BC與平面ABC₁所成角的正弦值為．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了線面角的求法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答此題的關(guān)鍵是線面角的招法，是中檔題．