Question

設(shè)f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為

1+2x+4xa

3

＞0在（-∞，1]恒成立，利用參數(shù)分離法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：若f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，
即

1+2x+4xa

3

＞0在（-∞，1]恒成立，
即1+2^x+a•4^x＞0，
則a•4^x＞-1-2^x，
即a＞

-1-2x

4x

=-（

1

4x

+(

1

2

)x）=-[(

1

2

)x]²-(

1

2

)x，
設(shè)t=(

1

2

)x，當(dāng)x≤1時(shí)，t≥

1

2

，
設(shè)g（t）=-t²-t=-（t+

1

2

）²+

1

4

，
∵t≥

1

2

，
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）取得最大值g（

1

2

）=-

3

4

，
則a＞-

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)恒成立的應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．