Question

已知長(zhǎng)方形EFCD，．以EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．
（Ⅰ）求以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，過點(diǎn)F做直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2，0），若λ∈[-2，-1]，求||的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定E，F(xiàn)，C的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，結(jié)合配方法，即可求||的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)E，F(xiàn)，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），（1，）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
則2a=|EC|+|FC|=＞2，∴a=，
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．…（4分）
（Ⅱ）由題意容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1，
代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)關(guān)系，得y₁+y₂=①，y₁y₂=②，…（7分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124658970057976/SYS201310251246589700579020_DA/9.png">，所以且λ＜0，所以將上式①的平方除以②，得，
即=，所以=，
由，
即．
∵=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴=（x₁+x₁-4，y₁+y₂）
又y₁+y₂=，．
故=．…（11分）
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124658970057976/SYS201310251246589700579020_DA/28.png">，所以，，=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124658970057976/SYS201310251246589700579020_DA/33.png">，所以，．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考試學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．