Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).

(1)若a＝﹣1,求方程f(x)＝1的解集;

(2)若 ,試判斷函數(shù)y＝f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1).(2)答案見解析

【解析】

（1）因式分解即可求解方程；

（2）對(duì)a分類討論求解零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(1)當(dāng)a＝﹣1時(shí)，由f(x)＝1得:(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)＝0，即(x﹣1)(|x+1|﹣1)＝0，

解得x＝1或|x+1|＝1，則有x＝1或x＝0或x＝﹣2，

即解集為{0，1，﹣2};

(2)f(x)，

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝(x﹣1)|x|﹣x，由f(x)＝0，可得x＝0，2，兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＜a，可得f(x)在(﹣∞，a)遞增，(a，a)遞減，即f(x)在x＜a有最大值a(a﹣12)＜0，

當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)遞減，(a+1，+∞)遞增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞時(shí)，f(x)→﹣∞;在x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，則f(x)在0＜a＜2時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＞a，可得f(x)在(﹣∞，a)遞增，即f(x)在x＜a時(shí)，f(x)＜f(a)＝﹣3a＞0，

當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)遞減，(a+1，+∞)遞增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞時(shí)，f(x)→﹣∞;在x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，則f(x)在a＜0時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；

綜上可得y＝f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù):

當(dāng)，一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，三個(gè)零點(diǎn)