Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求滿足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，代入可求滿足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值．

解答：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，∴a₁=1．
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴數(shù)列{a_n+1}為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*；
（2）解：b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
∴2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-T_n=3•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2
∴

Tn-2

2n-1

＞2010可化為2ⁿ⁺¹＞2010
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048
∴滿足不等式

Tn-2

2n-1

＞2010的n的最小值為10．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．