(本小題滿分12分)
三棱錐中,,,

(1) 求證:面
(2) 求二面角的余弦值.

(1)取BC中點(diǎn)O,連接AO,PO,通過(guò)△POA≌△POB≌△POC,得到∠POA=∠POB=∠POC=90°,推出PO⊥面BCD,∴面PBC⊥面ABC。
(2)cos(n1, n2)==。

解析試題分析:(1) 證明:取BC中點(diǎn)O,連接AO,PO,由已知△BAC為直角三角形,
所以可得OA=OB=OC,又知PA=PB=PC,
則△POA≌△POB≌△POC    2分
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°,∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O
所以PO⊥面BCD,           4分
面ABC,∴面PBC⊥面ABC   5分
(2) 解:過(guò)O作OD與BC垂直,交AC于D點(diǎn),
如圖建立坐標(biāo)系O—xyz

,,
   7分
設(shè)面PAB的法向量為n1=(x,y,z),由n1· =0,n1·=0,可知n1=(1,-,1)
同理可求得面PAC的法向量為n1=(3,,1)      10分
cos(n1, n2)==         12分
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,(2)小題,應(yīng)用空間向量,使問(wèn)題解答得以簡(jiǎn)化。

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).

求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知在四棱錐中,,,,分別是的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證
(Ⅱ)求證;
(Ⅲ)若,求二面角的大小.

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(本題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面,的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)證明平面;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,的中點(diǎn).

(1)求證:;  (2)求證:平面平面.

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(本小題滿分12分)
如圖,在三棱錐中,,,,,, 點(diǎn),分別在棱上,且

(Ⅰ)求證:平面PAC
(Ⅱ)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說(shuō)明理由.

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(本小題滿分14分)
已知四棱錐的底面為平行四邊形,分別是棱的中點(diǎn),平面與平面交于,求證:

(1)平面;
(2)

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(本小題共12分)
在如圖的多面體中,⊥平面,,,,,,   的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:;

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(本小題滿分13分)
如圖1,在等腰梯形中,,,,上一點(diǎn), ,且.將梯形沿折成直二面角,如圖2所示.

(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)所在平面內(nèi),且直線與平面所成的角為,試求出點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離.

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