Question

【題目】【2014高考陜西版文第21題】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，易得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求出導(dǎo)函數(shù)，利用判定函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并求出的極小值；

（2）由函數(shù)，令，得，

設(shè)，由求出函數(shù)的單調(diào)性以及極值，并且求出函數(shù)在的零點(diǎn)，畫出的大致圖像，并從圖像中，可以得知，當(dāng)在不同范圍的時(shí)候，函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

（3）對(duì)任意恒成立，等價(jià)于恒成立，則在上單調(diào)遞減，即在恒成立，

求出的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

易得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，取得極小值

(2)函數(shù)

令，得

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上式增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上式增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，取極大值

令，即，解得，或

函數(shù)的圖像如圖所示：

由圖知：

① 當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)無交點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；

④時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（3）對(duì)任意恒成立

等價(jià)于恒成立

設(shè)

在上單調(diào)遞減

在恒成立

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)時(shí)，

的取值范圍是