Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，且（x-1）f′（x）＜0，設(shè)a=f（0），b=f（

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），c=f（3），則a，b，c三者的大小關(guān)系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、b＜c＜a
• C、c＜a＜b
• D、c＜b＜a

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意得對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x），得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．由當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．比較自變量的大小即可得到函數(shù)值的大�。�

解答： 解：由題意得：對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．
因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．
因?yàn)?1＜0＜

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，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

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），即f（3）＜f（0）＜f（

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），
所以c＜a＜b．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等，函數(shù)的性質(zhì)一直是各種考試考查的重點(diǎn)內(nèi)容，屬于中檔題