Question

若(2x-

2

2

)9展開式的第7項為42，則

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2

．

Answer 1

分析：根據二項式定理，可得（2^x-

2

2

）⁹的展開式的通項，進而可以得到展開式的第7項，依題意，其展開式的第7項為42，可得關于x的關系式，解可得x的值，將x的值代入

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)，由等比數列的前n項和公式，化簡計算可得答案．

解答：解：（2^x-

2

2

）⁹的展開式的通項為 Tr+1=

C

r 9

(2 x)9-r(-

2

2

)r
∴展開式的第7項是T₇=

1

8

C₉⁶2^3x=

21

2

×2^3x，
∵展開式的第7項是42，即

21

2

×2^3x=42，
化簡可得3x=2，
解可得，x=

2

3

，

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2 3

1 3

=2；
故答案為2．

點評：本題考查二項式定理的運用，解題的關鍵是結合題意并結合二項式定理，求出x的值．