Question

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，各局相互獨(dú)立，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，如果兩人比賽五局，乙得1分與得2分的概率恰好相等．
（1）求乙在每局中獲勝的概率為多少？
（2）假設(shè)比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，用ξ表示比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)，求ξ的期望E_ξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)每次比賽乙獲勝的概率為p，則比賽5次乙恰好有k次獲勝的概率為

C

k 5

pk(1-p)5-k，（k=0，1，2，…，5），由題設(shè)

C

2 5

p2(1-p)3=

C

1 5

p(1-p)4，且0＜p＜1，由此能求出乙獲勝的概率．
（2）甲獲勝的概率為1-p=1-

1

3

=

2

3

，依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ．

解答： 解：（1）設(shè)每次比賽乙獲勝的概率為p，
則比賽5次乙恰好有k次獲勝的概率為：

C

k 5

pk(1-p)5-k，（k=0，1，2，…，5），…（2分）
由題設(shè)

C

2 5

p2(1-p)3=

C

1 5

p(1-p)4，且0＜p＜1，
解得p=

1

3

．…（4分）
所以，乙獲勝的概率為

1

3

．…（5分）
（2）甲獲勝的概率為1-p=1-

1

3

=

2

3

，…（6分）
依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．…（7分）
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為：
(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

．
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．
從而有P（ξ=2）=

5

9

，
P（ξ=4）=

4

9

×

5

9

=

20

81

，
P（ξ=6）=(

4

9

)2=

16

81

．…（10分）
故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．