【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩(wěn)定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側(cè)邊CF和DE，底部EF的造價分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數(shù)），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價最低?并求最低總造價．

【答案】（1），，其中；（2）當的值為時，總造價最低，為千元．

【解析】

（1）過點F作于點H，由三角函數(shù)及支撐面面積可得，寫出總造價與θ的關(guān)系，并分析函數(shù)定義域；

（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論.

（1）過點F作于點H，則，

所以在中，，．

設(shè)，

則由題意得，解得，

所以，

故路面AB的造價為千元，

側(cè)邊CF和DE的造價為千元．

底部EF的造價為，

所以，

又因為，

則，

設(shè)銳角滿足，則．

因此，，，其中．

（2）由（1）知

設(shè)，其中，

則．

令，則．

因為．

所以，列表如下：

－

0

＋

4

所以當時，，有．

答：當的值為時，總造價最低，為千元．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗，人工檢驗方法如下：先從每箱的零件中隨機抽取4個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗；若抽取的零件至少有1個至多有3個次品，則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8，每個零件是否檢驗合格相互獨立，且每個零件的人工檢驗費為2元.

（1）設(shè)1箱零件人工檢驗總費用為元，求的分布列；

（2）除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法，機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗，以檢驗總費用的數(shù)學期望為依據(jù)，在人工檢驗與機器檢驗中，應(yīng)該選擇哪一個？說明你的理由.

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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.

（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達時間”為18分鐘�，F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；

（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；

（3）如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？

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【題目】如圖，斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，為的中點，平面，點在上，，為與的交點，且與平面所成的角為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

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【題目】在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖所示的三角形（楊輝三角）解釋了二項和的乘方規(guī)律．右邊的數(shù)字三角形可以看作當n依次取0，1，2，3，…時展開式的二項式系數(shù)，相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列．例：，，，…．

（1）寫出數(shù)列的通項公式（結(jié)果用組合數(shù)表示），無需證明；

（2）猜想，與的大小關(guān)系，并用數(shù)學歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，時，恒成立，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動點，求點到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關(guān)于原點對稱，且直線截曲線的弦長等于，求的值.

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【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為等腰梯形，四邊形為菱形．已知，，．

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（2）若線段在平面上的投影長度為，求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知函數(shù)的圖象與直線有3個交點，則實數(shù)a的取值范圍是________．

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