Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，AB⊥BC．點M，N分別是CC₁，B₁C的中點，G是棱AB上的動點．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若CG∥平面AB₁M，試確定G點的位置，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合AB⊥BC，得AB⊥平面B₁BCC₁，從而B₁C⊥GB，在等腰△BB₁C中，利用中線BN⊥B₁C，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到B₁C⊥平面BNG．
（II）當(dāng)G是棱AB的中點時，CG∥平面AB₁M．連接AB₁，取AB₁的中點H，連接HG、HM、GC，用三角形中位線定理，得到GH∥BB₁且GH=BB₁，在正方形B₁BCC₁中證出MC∥BB₁且MC=BB₁，所以GH與MC平行且相等，得到四邊形HGCM為平行四邊形，GC∥HM，最后結(jié)合線面平行的判定定理，得到CG∥平面AB₁M．
解答：解：（I）：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=BB₁，點N是B₁C的中點，
∴BN⊥B₁C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁…（3分）
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB…（5分）
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B₁C⊥平面BNG…（6分）
（II）當(dāng)G是棱AB的中點時，CG∥平面AB₁M．…（7分）
證明如下：
連接AB₁，取AB₁的中點H，連接HG、HM、GC，
則HG為△AB₁B的中位線
∴GH∥BB₁，GH=BB₁…（8分）
∵由已知條件，B₁BCC₁為正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M(jìn)為CC₁的中點，
∴…（11分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四邊形HGCM為平行四邊形
∴GC∥HM…（12分）
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M…（14分）
點評：本題給出一個側(cè)面是正方形的直三棱柱，求證線面垂直并探索線面平行的存在性，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．