Question

函數(shù)y=x³-x+1圖象上任一點(diǎn)的切線的傾角的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,直線的傾斜角

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的值域得到切線傾斜角正切值的范圍，則傾斜角的范圍可求．

解答： 解：由y=x³-x+1，得
y′=3x²-1，
設(shè)函數(shù)y=x³-x+1圖象上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且過該點(diǎn)的切線的傾斜角為α（0≤α＜π），
則y′|x=x0=3x02-1，
∵3x02-1≥-1，
∴tanα≥-1，
∴0≤α＜

π

2

或

3π

4

≤α＜π．
∴函數(shù)y=x³-x+1圖象上任一點(diǎn)的切線的傾角的取值范圍是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．
故答案為：[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線傾斜角和斜率的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．