Question

統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量P（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式為：P=

1

102400

x3-

3

80

x+a（0＜x≤120）．當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，每小時(shí)耗油

57

8

升．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）已知甲、乙兩地相距100千米，汽油的價(jià)格是8元/升，司機(jī)每小時(shí)的工資是16元，當(dāng)汽車以多大速度行駛時(shí)，從甲地到乙地的總費(fèi)用最少？最少是多少元？．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先將x=40時(shí)，y=

57

8

代入解析式求出a的值；
（2）設(shè)速度為xkg/h，然后表示出運(yùn)行的時(shí)間，再結(jié)合已知求出每小時(shí)費(fèi)用，即可將總的費(fèi)用表示出來得到一個(gè)關(guān)于x函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在（0，120]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng) x=40時(shí)，汽車每小時(shí)耗油

1

102400

×403-

3

80

×40+a=a-

7

8

（升），
依題意得：a-

7

8

=

57

8

，解得a=8，所以實(shí)數(shù)a的值為8．
（Ⅱ）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了

100

x

小時(shí)，
設(shè)從甲地到乙地的總費(fèi)用為y=f（x）元，依題意得
f（x）=

100

x

[(

1

102400

x3-

3

80

x+8)×8+16]=

1

128

x2+

8000

x

-30(0＜x≤120)，
則f′(x)=

x

64

-

8000

x2

=

x3-803

64x2

(0＜x≤120)，
令f′（x）=0，得x=80，易知
當(dāng)x∈（0，80）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．
所以當(dāng)x=80時(shí)，f（x）取到極小值f（80）=120，
因?yàn)閒（x）在（0，120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值．
答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地的總費(fèi)用最少，為120元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化問題中的應(yīng)用，要注意解題過程的規(guī)范性，特別是確定最值時(shí)的過程要規(guī)范．