Question

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)與a、b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)最小(A、B孔面積忽略不計(jì))．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：應(yīng)用題的最值問(wèn)題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞�，再依�?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值． 　　解答一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)，根據(jù)題意可知；y＝，其中k＞0且k是比例系數(shù)．依題意要使y最小，只需求ab的最大值． 　　由題設(shè)知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0) 　　即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0) 　　∵a＋2b≥2∴2＋ab≤30 　　當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取等號(hào)． 　　由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 　　即當(dāng)a＝2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18． 　　∴2b2＝18．解得b＝3，a＝6． 　　故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量份數(shù)最�。� 　　 　　評(píng)析：均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過(guò)程為：(1)先構(gòu)造定值；(2)出現(xiàn)關(guān)系式；(3)驗(yàn)證“＝”號(hào)成立．