Question

橢圓的上頂點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

 解析：（1），由題設(shè)可知，得

                                                 ①  ………1分

又點(diǎn)P在橢圓C上，                          ②

                                     ③  ………3分

①③聯(lián)立解得，                            ………4分

故所求橢圓的方程為                         ………5分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去y，

整理得                             （﹡）

方程（﹡）有且只有一個(gè)實(shí)根，又，

所以得                              _{………8分}

假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由

對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,

所以，   解得，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

總上，存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線的距離之積等于1.…12分

【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)可得①，又點(diǎn)P在橢圓C上，可得⇒a²=2②，又b²+c²=a²=2③，①③聯(lián)立解得c，b²，即可得解．

（2）設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（﹡），由得，假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒成立．由 即可求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．