已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線bx-ay=ab與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左項(xiàng)點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，圓M過A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，求圓M的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出
a2-b2
a
=
2
2
1
2
ab=4
2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由A（-4，0），B（0，2
2
）得線段AB的中點(diǎn)為（_2，
2
），從而線段AB中垂線l的方程為
2
x+y+
2
=0，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，OM⊥l，由此能求出圓M的方程．
解答： 解：（1）直線bx-ay=ab與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），（0，b）．…1 分
圍成的三角形面積為S=
1
2
ab=4
2
．…2 分
a2-b2
a
=
2
2
1
2
ab=4
2
，解得：a=4，b=2
2
．…（5分）
∴橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
8
=1．…（6分）
（2）由（1）得，A（-4，0），B（0，2
2
）．…（7分）
∴線段AB的中點(diǎn)為（_2，
2
），直線AB的斜率為k=
2
2
．
∴線段AB中垂線l的方程為y-
2
=-
2
（x+2），
即
2
x+y+
2
=0．…（9分）
∴圓心M在直線l上，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，OM⊥l，
直線OM的方程為y=
2
2
x．…（11分）
由
y=
2
2
x
2
x+y+
2
=0
，得x=-
2
3
，y=-
2
3
．
∴M（-
2
3
，-
2
3
），半徑r2=|MA|2=
34
3
．…（12分）
∴圓M的方程為(x+
2
3
)2+(y+
2
3
)2=
34
3
．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線與方程、橢圓與圓的方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和分析探究問題能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=|x|（|x-1|-|x+1|）是（　　）
A、是奇函數(shù)
B、是偶函數(shù)
C、是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
D、不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-
1
2
，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=-1，對(duì)任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞
1
3
x3+
1
2
x2+m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）ex-kx2，（k∈R）．
（1）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)k∈（
1
2
，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C過點(diǎn)A（1，
3
2
），兩焦點(diǎn)為F1（-
3
，0）、F2（
3
，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l：y=kx+m與橢圓交于兩不同點(diǎn)P、Q．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）當(dāng)k=1時(shí)，求△OPQ面積的最大值；
（3）若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求直線l的斜率k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，俯視圖是邊長(zhǎng)為2cm的正三角形，正視圖中矩形的長(zhǎng)邊為5cm．
（1）想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫出它的直觀圖；
（2）求該幾何體的體積和表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的短軸端點(diǎn)分別為A，B（如圖）．直線AM，BM分別與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足m≠0，且m≠±
3
．
（Ⅰ）若AM⊥BM，求m的值；
（Ⅱ）證明：CD所在直線與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式2x-3a≤0在區(qū)間（-4，1）上恒成立；命題q：函數(shù)y=3 x2-ax+1在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．若命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x∈R，向量
OA
=（2acos2
2ω+φ
2
，1），
OB
=（1，
3
asin（ωx+φ）-a），設(shè)函數(shù)f（x）=
OA
•
OB
，（a≠0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
），若f（x）的圖象相鄰兩最高點(diǎn)的距離為π，且其圖象有一條對(duì)稱軸方程為x=
π
12
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）+b的最大值為2，最小值為-
3
，求a和b的值．

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