(2010•朝陽區(qū)二模)設(shè)A是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{an}的集合:
an+an+22
an+1
;     ②an≤M.其中n∈N*,M是與n無關(guān)的常數(shù).
(Ⅰ)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,證明:{Sn}∈A;
(Ⅱ)對于(Ⅰ)中數(shù)列{an},正整數(shù)n1,n2,…,nt…(t∈N*)滿足7<n1<n2<…<nt<…(t∈N*),并且使得a6a7,an1,an2,…,ant,…成等比數(shù)列. 若bm=10m-nm(m∈N*),則{bm}∈A是否成立?若成立,求M的取值范圍,若不成立,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),且{cn}∈A,證明:cn≤cn+1
分析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,則a1+2d=4,3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以Sn=na1+
n(n-1)
2
d=-n2+9n
.由此能夠證明{Sn}∈A.
(Ⅱ)由a1=8,d=-2,知an=8-2(n-1)=10-2n,因此a6=-2,a7=-4.因?yàn)?span id="o1hmemq" class="MathJye">a6,a7,an1,an2,…,ant,…成等比數(shù)列,故q=
a7
a6
=2
.所以ant=a6qt+1=-2•2t+1.又ant=10-2nt,所以nt=2t+1+5.從而bm=10m-2m+1-5.由此能求出M的取值范圍.
(Ⅲ)假設(shè)存在正整數(shù)k,使得ck>ck+1成立.由數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),可得ck≥ck+1+1即ck+1≤ck-1.因?yàn)?span id="mxgaffo" class="MathJye">
ck+1+ck+2
2
 ≤ck+2,所以ck+2≤2ck+1-ck≤ck-2,由此能夠推導(dǎo)出對于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,
則a1+2d=4,3a1+3d=18,
解得a1=8,d=-2.,
所以Sn=na1+
n(n-1)
2
d=-n2+9n

Sn+Sn+2
2
-Sn+1=
1
2
[(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]<0

得 
Sn+Sn+2
2
Sn+1
,適合條件 ①.
Sn=-n2+9n=-(n-
9
2
)2+
81
4

所以當(dāng)n=4或5時(shí),Sn取得最大值20,
即Sn≤20,適合條件 ②.
所以,{Sn}∈A.4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a1=8,d=-2,
故an=8-2(n-1)=10-2n,
因此a6=-2,a7=-4.
因?yàn)?span id="9l1jfr1" class="MathJye">a6,a7,an1an2,…,ant,…成等比數(shù)列,
q=
a7
a6
=2

所以ant=a6qt+1=-2•2t+1
ant=10-2nt,所以nt=2t+1+5.
從而bm=10m-2m+1-5.
因?yàn)?span id="mcbgprz" class="MathJye">
bm+bm+2
2
-bm+1=
(10m-2m+1-5)+[10(m+2)-2m+3-5]
2
-[10(m+1)-2m+2-5]=-2m<0,
bm+bm+2
2
bm+1

又b1<b2<b3,并且b3>b4>b5>…,
而b3=10×3-23+1-5=9,
故當(dāng)m∈N*時(shí),bm≤9.
綜上,當(dāng)m∈N*時(shí),{bm}∈A,此時(shí)M的取值范圍是[9,+∞).9分
(Ⅲ)假設(shè)存在正整數(shù)k,使得ck>ck+1成立.
由數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),
可得ck≥ck+1+1,即ck+1≤ck-1.
ck+1+ck+2
2
 ≤ck+2
,
∴ck+2≤2ck+1-ck
≤2(ck-1)-ck
=ck-2,
由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1,
得ck+2<2ck+1-ck+1=ck+1
故ck+2≤ck+1-1.
ck+1+ck+3
2
ck+2

∴ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3,
依此類推,可得ck+m≤ck-m(m∈N*).
設(shè)ck=p(p∈N*),則當(dāng)m=p時(shí),有ck+p≤ck-p=0,
這顯然與數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾.
所以假設(shè)不成立,即對于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.14分.
點(diǎn)評:本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng),結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題,考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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a
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a
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b
b
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-13
-13

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1
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9
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π
6
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3
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