Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

-log2

1+mx

1-x

是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）請(qǐng)討論它的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）+f（x）=0；
即(-

2

x

-log2

1-mx

1+x

)+(

2

x

-log2

1+mx

1-x

)=0，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=

2

x

-log2

1+x

1-x

(x∈(-1，0)∪(0，1))確是奇函數(shù)．
（2）先研究f（x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設(shè)x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

+[lo g2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]，
由

2

x1

-

2

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．