Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別是PA，PB的中點，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=

2

，CD=1．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：MC⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明：取AD中點E，連結(jié)ME，NE，由已知M，N分別是PA，BC的中點，得到ME∥PD，NE∥CD，利用面面平行的判定定理得到所證；
（Ⅱ）因為PD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)定理得PD⊥DA，PD⊥DC，建立空間直角坐標系，分別寫出D，A，B，C，P的坐標，判斷向量

MC

，

BD

的位置關(guān)系．

解答： （Ⅰ）證明：取AD中點E，連結(jié)ME，NE，…（2分）
由已知M，N分別是PA，BC的中點，
所以ME∥PD，NE∥CD，…（4分）
所以，平面MNE∥平面PCD，…（7分）
所以，MN∥平面PCD．…（8分）
（Ⅱ）證明：因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如圖，建立空間直角坐標系，…（9分）
則D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0），C（0，1，0），P（0，0，

2

）．…（10分）
所以M（

2

2

，0，

2

2

），

BD

=（-

2

，-1，0），

MC

=(-

2

2

，1，-

2

2

)，…（11分）
因為

MC

•

BD

=0，所以MC⊥BD．…（13分）

點評：本題考查了面面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及利用空間向量證明線線垂直，體現(xiàn)了向量的工具性．