Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。

（Ⅱ）綜上可知，當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

法1： 

有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的實根，等價于     

，解得，即為所求的實數(shù)的取值范圍.

法2： 

有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的實根，即方程  

在上有兩個不等的實根，等價于

,,解得，即為所求的實數(shù)的取值范圍.

法3： ，即方程在上有兩個不等的實根，令，則其圖象對稱軸為直線，圖象恒過點，

問題條件等價于的圖象與軸正半軸有兩個不同的交點，等價于，

（Ⅱ）法1：（1）當(dāng)時，，

由得，，解得，

由得，，解得，

從而在、上遞減，在上遞增，

，  

，因為，所以，又，所以，從而.

又的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)時，的圖象與軸有且僅有一個交點.  

法2： ，令，考察函數(shù)，由于，所以在上遞減，，即，

（2）當(dāng)時，因為，所以，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而在上遞減，在上遞增,.

①若，則，此時的圖象與軸無交點.

②若，則，的圖象與軸有且僅有一個交點.

綜上可知，當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點.

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象特征、函數(shù)的零點，不等式組的解法。

點評：典型題，本題解答思路明確，注意是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象特征、函數(shù)的零點等。解答（I）時關(guān)鍵之一是認(rèn)識到“有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的實根”。解答（II）時，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，明確了函數(shù)圖像的大致形態(tài)，又通過討論a 的不同取值范圍，確定出函數(shù)零點的個數(shù)。解法較多，對啟迪學(xué)生的思維很有幫助。