Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點(diǎn)，與平面 所成的角為45°，且．

   （Ⅰ）求證：平面；

   （Ⅱ）求二面角的余弦的大小．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>底面，

       所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角         …………………1分       

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，…………………3分

  又因?yàn)?i>AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以_.   …………………4分

       因?yàn)镾A⊥底面ABCD,平面ABCD,

       所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分

       由于SA∩AP=A     所以平面SAP． …………………6分

   （Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn),連結(jié)PQ, …………………7分

       由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD，

       則平面SAD⊥平面PAD  …………………8分

_,PQ⊥平面SAD，SD平面SAD,     _.

       過(guò)Q作QR，垂足為，連接，則.

       又，，

       ∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…………10分

       容易證明△DRQ∽△DAS,則.

       因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305014120312703/SYS201205230503064218776971_DA.files/image020.png">，，

       所以.    …………………12分

       在Rt△PRQ中，因?yàn)?i>PQ=AB=1，,

       所以.  …………………13分

       所以二面角A－SD－P的余弦為． …………………14分

       解法二：因?yàn)?sub>底面，

       所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角.     ……1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

       建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

       由已知，P為BC中點(diǎn)．

       于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）……………3分

   （Ⅰ）易求得,

       ，． …………………4分

       因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305014120312703/SYS201205230503064218776971_DA.files/image030.png">，.

       所以_，.

       由于，所以平面.  …………………6分

   （Ⅱ）設(shè)平面SPD的法向量為_.

       由,得解得，

       所以.  …………………9分

       又因?yàn)锳B⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，

       易得. …………………9分

       所以.  …………………13分

       所以所求二面角的余弦值為．…………………14分

 

【解析】略