已知函數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減.
(Ⅰ)若b=-2,求c的值;
(Ⅱ)求證:c≥3.
【答案】分析:(1)由題意得x=1是函數(shù)的一個極值點,先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),根據(jù)f(1)=0即可求得c;
(2)根據(jù)第一問可知b=-,將其代入f(x)進行化簡整理,研究它的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合圖象法求出c的范圍.
解答:解:(Ⅰ)由已知可得f'(1)=0
又f'(x)=x2+2bx+c
f'(1)=1+2b+c=0,
將b=-2代入,可得c=3
(Ⅱ)可知b=-,代入f′(x)可得f′(x)=x2-(c+1)x+c.
令f'(x)=0,則x1=1,x2=c.
又當(dāng)-1<x<1時,f'(x)≥0,當(dāng)1<x<3時,f'(x)≤0
如圖所示;
易知c≥3.
點評:本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,極值,不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

例4、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù).又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時函數(shù)取得最小值-5.
①證明:f(1)+f(4)=0;②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;③求y=f(x)在[4,9]上的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a>0,b∈R),x∈R
(1)若-1為f(x)=0的一個根,且函數(shù)f(x)的值域為[-4,+∞),求f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時,h(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+  
1
2
bx2+cx

(1)若函數(shù)f(x)有三個零點x1,x2,x3,且x1+x2+x3=
9
2
,x
1
x3=-12
,且a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(1)=-
1
2
a
,且3a>2c>2b,試問:導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)是否有零點,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)的定義域是D,若對于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿足以下三個條件:①f(0)=0;  ②f(
x
5
)=
1
2
f(x);  ③f(1-x)=1-f(x).則f(
4
5
)=
1
2
1
2
,f(
1
2013
)=
1
32
1
32

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)的定義域是D,若對于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿足以下三個條件:
①f(0)=0;  
f(
x
5
)=
1
2
f(x)
;  
③f(1-x)=1-f(x).
f(
4
5
)
=
1
2
1
2
f(
1
12
)
=
1
4
1
4

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