Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+  

1

2

bx2+cx
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，且a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f(1)=-

1

2

a，且3a＞2c＞2b，試問：導(dǎo)函數(shù)f^′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，因?yàn)閤₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，使用根與系數(shù)的關(guān)系，得出b，c與a的關(guān)系式，從而得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區(qū)間．
（2）求出 f′(1)=-

1

2

a，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當(dāng)c＞0時(shí) f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)c≤0時(shí)，f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．

解答：解：（1）因?yàn)?f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又 x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，
則 x2=0，x1+x3=

9

2

．
因?yàn)閤₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，則 -

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12．即b=-3a，c=-4a．
所以f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax． 
∴f'（x）=a（x²-3x-4），由x²-3x-4＜0，得-1＜x＜4．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因?yàn)閒'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以 a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是 f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)?f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．